深度学习2：反向传播算法原理

神经网络最核心的问题就是参数的训练问题，而反向传播算法（backpropagation algorithm）在当中起着关键性的作用，本文详细介绍了反向传播算法的原理，并提供了详细的数学推导过程。通过对算法背后数学原理的了解，可以对反向传播算法建立更为透彻的理解。

1、反向传播算法和梯度下降算法之间的关系

刚开始接触的时候，分不清楚梯度下降算法和反向传播算法之间的关系，还以为两者是解决同一问题的两种不同的算法。随着了解的逐渐深入，渐渐搞清楚了这两个算法之间的关系。在神经网络中，需要这两个算法相互配合、共同使用才能解决神经网络的训练问题。

上一篇文章《深度学习1：初识神经网络》中已对梯度下降算法的思想做了介绍，其基本思想为首先随机初始化参数的值，然后计算损失函数在这个参数点的梯度，然后让参数的取值向梯度的反方向运动，即能够最大化降低损失函数的方向前进，使得损失函数逐渐逼近极小值。如果损失函数非常简单，例如y=x**2，那么我们可以直接通过求导得到每一个点的梯度，但是在神经网络中，参数的数量可能极其庞大，可能达到几千、几万甚至几十万个，通过直接求导的方式变得不太现实，那么在这样的情况下，我们如何求得梯度向量呢？这个时候就要发挥反向传播算法的威力了，反向传播算法能够非常快速有效地求得梯度向量。所以梯度下降算法是一个框架性的算法，利用梯度来逐渐逼近极值，而反向传播是解决求梯度问题的一个算法。反向传播只是梯度下降算法框架下解决其中一个核心问题的算法，两者并不是并列的关系，不是处于同一层级的两个算法。

2、反向传播算法的基本思想

神经网络中有两次传播，一次是正向传播，一次反向传播。正向传播从第1层开始，逐渐向输出层传播计算的过程，解决的是根据输入值怎么求得神经网络的输出值的问题。而反向传播从神经网络的输出层开始，反向向第1层传播计算，解决的是求得每一层中各权重和偏差项参数的梯度问题。

（1）为什么要求各参数的梯度？

如果一个神经网络中有N个参数，那么神经网络参数的取值相当于N维空间中的一个点，模型训练的目的是在N维空间中找出一个最佳的点，使得神经网络能够最好地拟合训练数据。在梯度下降算法中，是从参数的随机取值开始的，即在N维空间中随机取了一个点，从这个随机的点开始，那么如何才能快速地找到我们所希望的那个最佳点呢？想象下，在3维空间，从一个随机的点出发，到我们希望找到的最佳点，这个路径是无穷多的，如果有没有一套方法来指导我们搜寻这个最佳点，那么效率将非常低，模型训练的时间将非常长。而梯度下降就是一个快速的搜寻规则，让参数取值始终往梯度的方向运动，使得我们能够以最高的效率在N维空间中搜寻到那个最佳的点。说清楚了为什么要求各参数的梯度，下面介绍如何来求参数的梯度。

（2）一个重要的中间变量

导数的定义是当自变量增加微小量时，函数的因变量会产生多大的变化，反映的是函数的变化速率。神经网络中求参数梯度的问题从数学上来说，其实就是对损失函数求各参数偏导数的问题。除了输入层神经元之外，所有神经元的输出都有下面这种形式，即对上一层的神经元的输出结果进行加权求和，并通过激活函数转化为自身的输出结果。变量z是上一层神经元输出结果的加权之和。变量a为以z为输入，是经过激活函数转化之后的输出结果。

我们来看一下，当变量z发生了微小的变化的时候，会发生什么样的情况。例如在L层的第j个神经元中，增加了delta z的时候，由于该神经元的输出结果会传导到下一层，层层传导下去之后直到传导到输出神经元。变量z的微小变化会导致损失函数的相应变化，我们把这个变化量定义如下：

δ是对变量z求偏导的结果，反映的是当变量z发生微小变化时，会给损失函数带来的变化量。如果δ为正，表示变量z的增加会导致损失函数结果的增加，代表模型的误差越来越大；如果δ为负，表示变量z的增加会导致损失函数结果的减少，代表模型的误差越来越小，这是我们希望得到的结果。

（3）反向传播的规则

下面是反向传播算法中四个重要的公式，提供了计算各层参数的方法。这里先不要陷入细节，先不要去管他这四个公式是怎么算出来的（会在下一节中详细说明每一步的数学过程），我们首先对反向传播算法建立起总体上的认识。第一个公式说明了第L层（最后一层）中间变量δ的计算方式。从公式2和公式3可以看到，根据变量δ，可以直接得到该层的误差项参数和权重参数的偏导数，可见变量δ是一个很重要的中间变量。从公式4可以看到，在知道了L层的变量δ值之后，则可以反向计算得到L-1层的变量δ，从而又可以根据L-1层的变量δ值，得到L-1层的权重参数和偏差项的偏导数，再得到L-2层的变量δ值，这样不断向前回溯，就可以得到神经网络所有参数的偏导数，即梯度。

公式4表示的本层的δ值与下一层δ值之间的关系，这种反向计算的关系我想就是反向传播算法这个名字的由来吧。刚开始接触反向传播算法的时候，有人介绍的时候说误差会在神经网络模型中反向传播回去，当时很不理解误差怎么可能会传播回去呢。其实误差并没有真的在神经网络中传播，而是上一层的δ值与下一层δ值之间存在这种数学关系，所谓误差的反向传播就是对这种反向计算方式的形象表达而已。

3、反向传播算法的数学推导过程

假设有一个总共包含L层的神经网络，每一层有若干个神经元，每一层的神经元都是全连接的关系，经过网络的前向传播之后，L层（输出层）的每一个神经元会得到最终的结果Ajl，如下图所示：

假设损失函数采用均方误差函数的话，那么在某个样本数据的损失函数为：

a. 计算最后一层（L层）参数的偏导数

首先来求中间变量Zjl的偏导数，根据链式法则，可以得到:

到此，神经网络最后一层涉及到的参数全部得到求偏导的结果，下面开始反向传播的过程。

b. 计算倒数第二层（L-1层）参数的偏导数

从上面的推导过程中可以看到，我们只要知道了L-1层的δ值，就能够很容易地得到L-1层的权重和偏差项参数的梯度了。因此关键是如何得到L-1层的δ值。这里很重要的一点是L-1层的变量z的微小变化会通过网络传导到L层的每一个神经元，正是存在这种传导关系，才使得L的δ与L-1层的δ建立起了某种联系，详细的数学推导过程如下。

在得到L-1层的δ值之后，就可以运用前面相同的方法，来得到L-1层的权重参数和误差项参数的偏导数了。通过这种逐层回溯的方式，可以计算得到整个神经网络的参数梯度。

本文对反向传播算法的数学原理进行了一步步的推导，不得不说，反向传播算法是一个很精妙的算法，通过运用该算法，大大地加快了神经网络的训练速度。